cantor paradoksu

cantor paradoksu anlaması oldukça basit, çözümsüz (gerçek) bir paradoks. adını alman matematikçi georg cantor'dan alan paradoks “sonsuzluk” kavramını yeniden sorgulatıyor. iki sonsuz kümemiz var. bunlara a ve b kümeleri diyelim. şimdi size “hangi küme daha büyüktür?” diye sorarsam tahminimce ikisinin de aynı büyüklükte olduğunu söylersiniz. peki tam sayılar {0,1,2,3,4…} ve çift sayılar {0,2,4,6,8…} kümelerini karşılaştırırsak ne olur? iki küme de aynı büyüklükte midir? yoksa tam sayılar kümesi mi daha büyüktür?

aslında her iki küme de eşit sayıda eleman içeriyor! “bir küme diğerini içeriyorsa nasıl eşit sayıda elemana sahip olabilirler?!” dediğinizi duyar gibiyiz. ancak burada söz konusu olan kümeler sonsuz elemanlı olduğundan, bu mümkün olabiliyor.

aslında bu hikayenin sadece bir kısmı. cantor ve onun izinden giden matematikçiler, farklı tür sonsuzluklar olduğunu belirlediler. (matematikte bunlara kardinalite deniyor.) kardinalite sonsuz kümelerin büyüklüğünün bir ölçüsüdür. en küçük kardinalite (sembol var ) (alef sıfır) olarak adlandırılır ve bir sonraki kardinalite (sembol)(alef bir), ondan sonraki (sembol)(alef iki) vs. şeklinde devam eder. alef sifir'a sayılabilir sonsuzluk dendiği de olur. doğal sayılar, çift sayılar, tek sayılar kümelerinin kardinalitesi hep alef sıfırdır. yani bu kümeler eşit sayıda sonsuz eleman içerirler. (birbirlerini kapsasalar bile…)

alef bir sayılamayan bir sonsuzluk tipidir ve gerçek sayıların sayısı kadardır. işin tuhafı, alef bir tipi sonsuzluğun alef sıfır tipi sonsuzluktan büyük olması… bu ikisi arasında başka tip bir sonsuzluk (kardinalite) olup olmadığı bilinmiyor.